Историко-астрономические исследования, вып. XXVI, стр. 7-25.
M. "Наука", 2001
отв. ред. Г.М.Идлис


А.К. Дамбис, Ю.Н. Ефремов

Датировка звездного каталога Птолемея по собственным движениям: тысячелетняя проблема решена

Введение


Проблема происхождения звездного каталога, включенного в книги VII и VIII птолемеева "Альмагеста", была предметом самой продолжительной и ожесточенной дискуссии в истории астрономии, которая детально описана в книге Грасхоффа [I]. Имеется утверждение Птолемея, что "мы наблюдали так много звезд, как мы могли видеть до шестойвеличины" [2], однако несоответствие между долготами и эпохой наблюдений, указанной Птолемеем, было отмечено уже ас-Суфи и другими арабскими астрономами. Ас-Суфи [3] допустил, что погрешность на 1 градус в долготах звезд в каталоге Птолемея, получающаяся в предположении, что его эпоха есть указанный в "Альмагесте" 137 г. (первый год Антонина Пия), объясняется тем, что Птолемей не определял сам координаты, а взял их из более раннего каталога Менелая, переведя долготы на свою эпоху и добавив еще 25'. Через 600 лет Тихо Браге [4] пришел к выводу, что исходным был каталог Гиппарха, а Птолемей перевел его долготы на свою эпоху с гиппарховым же значением прецессии по долготе: 1 градус за 100 лет.

Ряд аргументов в пользу этого же предположения привел два века спустя Лаланд [5], а еще полвека спустя Деламбр [6] детально изучил проблему и заключил, что большинство наблюдений, описанных Птолемеем, вообще не были выполнены. Это заключение повторил во второй половине XX в.Р. Ньютон [7], который, кроме того, отметил аномально высокую частоту значений долгот, оканчивающихся на 40', и предположил, что единственная причина этому - прибавление целого числа градусов плюс 40" к исходным долготам Гиппарха, причем Птолемей должен был прибавить к ним именно 2ш40', чтобы получить указанную им эпоху +137 г. с принятым как им, так и Гиппархом значением прецессии в 1 градус за 100 лет. Датировка каталога по долготам и прецессии дает эпоху 62 +/- 2 г. н.э. (рис. 1). Каталог Гиппарха не сохранился, но определенные им координаты ряда звезд можно вывести из данных, содержащихся в его "Комментариях к Арату и Евдоксу" [8]. Погрешность долготы имеет вид (lAlm-lT) cos b, где lAlm - эклиптическая долгота звезды согласно "Альмагесту", а lT и b - эклиптические долгота и широта звезды, рассчитанные по современным высокоточным данным; lT меняется со временем из-за прецессии. Датировка эпохи наблюдения каталога по прецессии соответствует минимуму <[(lAlm-lT) cos b]>.


Рис. 1. Зависимость среднеквадратичного значения погрешности долготы для всех звезд каталога "Аль-магеста" от предполагаемой эпохи наблюдения Т

Много аргументов использовалось в споре каждой стороной. Лаплас [9, с. 275] отметил, что систематическая погрешность в звездных долготах могла возникнуть из-за ошибки в 1 градус в теоретической долготе Солнца, возникшей из-за принятой Птолемеем слишком большой продолжительности тропического года. Согласившись с этим предположением, Эванс [10] отметил, что высокую частоту величины 40' в значениях долгот можно было бы объяснить, принимая, что значения долготы опорных звезд оканчивались именно на 40". Сильные аргументы в поддержку гиппархова происхождения координат были найдены Грас-хоффом [I], который продемонстрировал много примеров общих больших ошибок в каталоге Птолемея и в гиппарховых "Комментариях к Арату". Случай qEri с одинаковой очень большой погрешностью как долготы (более чем 3 градуса), так и звездной величины (звезде приписана первая величина вместо третьей) и в "Комментариях" и в каталоге особенно убедителен. Однако Свердлов [11] недавно заключил, что некоторые корреляции между погрешностями координат, найденные Грасхоффом [I], должны все еще быть подтверждены. Он утверждает, что в настоящее время проблему авторства звездного каталога "Альмагеста"решить невозможно, и предлагает наложить мораторий на ее исследование.

Но имеется еще один инструмент, позволяющий в принципе решить проблему: собственные движения звезд, которые впервые около 20 лет назад предложил использовать ныне покойный Ю.А. Завенягин. Этот инструмент, или метод, был развит и применен Ю.Н. Ефремовым 'И Е.Д. Павловской [12]. Они искали момент, когда изменяющаяся конфигурация (взаимные положения) группы нескольких звезд, включая звезду с большим собственным движением, наиболее близка к конфигурации, описанной координатами каталога Птолемея. Иными словами, они искали эпоху минимального среднего квадратичного отклонения наблюдаемых (т.е. определенных по данным в каталоге Птолемея) взаимных расстояний между звездами от текущих расчетных (т.е. основанных на данных каталога FK4 и собственных движениях). Этот метод позволяет уменьшить влияние систематических погрешностей координат, сходных в небольших областях. Оказалось, что единственный интервал, общий для всех использованных звезд и лежащий в пределах ошибки датировки по каждой звезде, это I в. до н.э. Результаты зависят от выбора звезд сравнения, которые выбирались более или менее произвольно из того же самого созвездия, что и быстрая звезда.

В данной работе мы поставили задачу максимально объективным способом исследовать возможности, которые предоставляют собственные движения для установления эпохи определения координат звезд в каталоге "Альмагеста". Предварительные результаты ее решения были опубликованы в сборнике [13], а более полный анализ дан в [14].

Исходные данные


Наш источник координат звезд - версия каталога "Альмагеста", приведенная в книге Грасхоффа [I]. Мы приняли современные координаты и собственные движения звезд из астрометрического каталога HIPPARCOS [15] и (для восьми звезд, недостающих в HIPPARCOS) из Каталога ярких звезд [16], и использовали стандартные формулы, приведенные в [I], для перевода координат к различным эпохам.

Результаты применения метода взаимных расстояний


Мы применили этот метод к десяти наиболее быстрым звездам "Альмагеста" (o2 Еri, a Сеn, a Воо, t Cet, a Dra, 61 Vir, a CMa, g Ser, i Per и a CMi), постепенно увеличивая численность звезд сравнения, начиная с наиболее близких к быстрой звезде и не принимая во внимание общность созвездия (табл. 1).

Таблица 1. Ближайшие соседи десяти самых быстрых звезд "Альмагеста" согласно координатам, приведенным в самом "Альмагесте" (|m| - абсолютное значение собственного движения звезды в секундах дуги в год)
Быстрая звезда
|m| ,
''/год
Ближайшие соседи
(в порядке возрастания расстояния от быстрой звезды)
o2 Eri 4.081 x Eri*, o1 Eri,n Eri, m Eri, w Eri, g Eri, d Eri, p Eri, p5 Ori, p6 Ori, y Eri
a Cen 3.721 z Lup, b Cen, k1 Lup, z Ara, m Lup, e1 Ara, g Ara, BS 5172, b Ara, p Lup, a Lup
a Boo 2.278 h Boo, t Boo, z Boo, u Boo, e Boo, s Boo, r Boo, w Boo*, y Boo, 45 Boo, 46 Boo
t Cet 1.922 u Cet, z Cet, q Cet, r Cet, s Cet*, h Cet, e Cet, t1 Eri, p Cet, BS 227, t2 Eri
s Dra 1.838 e Dra, u Dra, t Dra*, d Dra, r Dra, p Dra, j Dra, c Dra, k Cep, y1 Dra, q Cep
61 Vir 1.509 53 Vir*, 68 Vir, g Hya, a Vir, 89 Vir*, 86 Vir, 49 Vir, 76 Vir, 82 Vir, p Vir, h Crv, 74 Vir
a CMa 1.328 n3 CMa, i CMa, n2 CMa, m CMa*, p CMa, q CMa, g CMa, b CMa, x2 CMa, x1 CMa, o1 CMa
g Ser 1.319 b Ser, k Ser, k Her, r Ser, i Ser, p Ser, w Her, d Ser, g Her*, l Ser, d CrB
i Per 1.265 a Per, t Per, g Per, q Per, k Per*, s Per, y Per, h Per, d Per, b Per, p Per
a CMi 1.259 b CMi, b Cnc*, 74 Gem, l Gem, 19 Mon, 81 Gem*, z1 Cnc, d Hya, s Hya, BS 3314, 85 Gem, x Gem

Мы исключили из предварительного списка звезд сравнения объекты, взаимные расстояния которых в "Альмагесте" сильно расходятся с вычисленными на основании современных каталогов, и только после этого применили метод [12]. Результаты приведены на рис. 2 и 3.
 

Рис. 2. Среднекдратичная разность взаимных расстояний  по данным Альмагеста и вычисленных согласно современным высокоточным данным в зависимости от предполагаемой эпохи наблюдения T для групп звезд, включающих быструю звезду (например, o2 Eri) и Nref  ее ближайших соседей.


Рис. 3. Датировка каталога Альмагеста с использованием групп звезд, состоящих из быстрой звезды (например, o2Eri) и Nref  ее ближайших соседей.

Сплошной и штриховой линиями отмечены, соответственно, эпохи Гиппарха и Птолемея.

На рис. 2 показана зависимость от предполагаемой эпохи наблюдения "Альмагеста" среднего квадратичного различия взаимных расстояний звезд  в двух каталогах для десяти звезд с самым большим по абсолютной величине собственным движением. Кривые соответствуют результатам, полученным по группам звезд, содержащим различное количество опорных звезд: кривая 7 относится к быстрой звезде и трем самым близким ее соседкам, кривая 2 - к быстрой звезде и шести самым близким соседкам, а кривая 3 - к быстрой звезде и девяти самым быстрым соседкам. Величина rij(Alm) - это расстояние между i-и и j-й звездами согласно, координатам "Альмагеста", а rij(Comp) - расстояние между теми же звездами, рассчитанное согласно современным высокоточным данным. Наилучшая датировка соответствует минимуму.

На рис. 3 показано, как датировка по отдельным звездам и ее погрешность зависят от числа используемых опорных звезд Nref для каждой из десяти быстрых звезд.
 
 
Рис. 4. Среднеквадратичная ошибка s T  усредненной датировки Альмагеста, полученной по восьми группам, содержащим по одной быстрой звезде и Nref  их ближайших соседей (за исключением результатов по группам a Cen и a CMa см. текст) в зависимости от числа опорных звезд Nref. (Nref предполагается одним и тем же для всех быстрых звезд).
Рис. 5.Индивидуальные датировки каталога Альмагеста, полученные по 10 звездам с наибольшими по абсолютной величине собственными движениями (семь опорных звезд для каждой быстрой звезды) с использованием методики Ефремова и Павловской [12].

Сплошной и штриховой линиями отмечены, соответственно, эпохи Гиппарха и Птолемея.

На рис. 4 показана зависимость погрешности среднего взвешенного результата по восьми быстрым звездам (a СМа и a Cen были исключены) от числа используемых звезд сравнения. Видно, что погрешность резко увеличивается при переходе от семи к восьми звездам. Мы поэтому использовалиNref = 7 для каждой из десяти быстрых звезд. Итоговый результат показан на рис. 5. Если мы исключаем a CMa и a Сеn, то остающиеся восемь звезд (o2 Еri, a Воо, t Cet, a Dra, 61 Vir, g Ser, i Per и a CMi), дают эпоху -50+130, что в пределах погрешности согласуется с авторством Гиппарха, но не позволяет твердо исключить птолемеевское происхождение координат.

Метод взаимных расстояний можно применять не только к группам звезд в небольшой области неба, включающей одну быструю звезду и несколько ее ближайших соседей, но и просто к выборке из самых быстрых звезд "Альмагеста" (рис 6).


Рис. 6. Среднекдратичная разность взаимных расстояний  по данным Альмагеста и вычисленных согласно современным высокоточным данным в зависимости от предполагаемой эпохи наблюдения, T, для группы из 40 самых быстрых звезд каталога Альмагест. Наилучшая датировка соответствует минимуму .


Случай o2 Eri


Самая быстрая из звезд каталога "Альмагеста" o2 Eri может быть важна для выбора между эпохами Гиппарха и Птолемея, так что мы должны обсудить ее отождествление более подробно. Никто из издателей "Альмагеста" не сомневался в то, что звезда Bailey 779 (звезда 8 в созвездии Эридана) совпадает с o2 Eri, однако в сводке различных отождествлений, опубликованном в [17] один из пяти авторов предлагает для Bailey 779 другое отождествление. Как показано в [18], Гарвардский фотометрист Пирс (Peirce) идентифицировал звезду Eridanus 8 как 98 Heis, а не как o2 Eri, указывая что расстояние между звездами 7 и 8, как оно дано ас - Суфи, соответствует истине, если звезда 8 тождественна 98 Heis (= HP 726 = HR 1332), тогда как o2 Eri слишком далеко от звезды 7 Эридана. Однако, описание положений звезд, данное Ас-Суфи [3] абсолютно правильно для позиции o2 Эридана в его время! Пирс не принял во внимание очень быстрое движение этой звезды. На самом деле, расстояния между звездами,  как оно описано ас-Суфи? фактически подтверждает отождествление 8-ой звезды в Эридане с быстрой звездой o2 Eri. Кроме того, если бы отождествление Пирса была правильна, каталог "Альмагеста" содержал бы звезду 6-ой величины (HR 1332, которой приписана при этом 4-ая величина), но не близлежащую звезду 4- ой величины. Помимо этого, самое описание полосы звезд вдоль течения Эридан-реки, как оно дано в "Альмагесте" однозначно указывает на правильность общепринятой идентификации.
Впрочем, из дальнейшего будет ясно, что датировка слабо зависит от включения или исключения нескольких звезд, даже o2Eri.

"Коллективный" метод


Рассмотрим еще один вариант метода датировки каталога с использованием собственных движений звезд, который подробно изложен в [14]. Пусть lAlm и bAlm - эклиптические координаты звезд, приведенные в Альмагесте, а l0 и b0 - соответствующие координаты тех же звезд на эпоху нулевого года нашей эры (а точнее - первого года до нашей эры, который непосредственно предшествует первому году нашей эры), вычисленные на основании современных высокоточных положений и собственных движений (взятых из каталогов HIPPARCOS или Bright Star Catalogue), а также формул прецессии. Рассмотрим величины O-C, то есть разности наблюденных (приведенных в "Альмагесте") эклиптических координат звезд и координат тех же звезд, рассчитанных на эпоху первого года до н.э. по данным современных каталогов и измеряемых минутами дуги: Dl=lAlm - l0 and Db =bAlm - b0. Далее мы предполагаем, что эти разности остаются в среднем постоянными в пределах небольшой окрестности рассматриваемой звезды [1], то есть:

Dl cos b = Dlsys cos b + Dla cos b                                                                                         (1)
и
Db = Dbsys + Dba,                                                                                                             (2)
где Dlsyscos b и Dbsys представляют собой местные систематические ошибки координат, приведенных в Альмагесте (которые, как сказано выше, считаются одинаковыми для всех звезд в рассматриваемой окрестности на небе), а Dlacosb и Dba представляют собой случайные компоненты ошибок соответствующих координат и, по определению, в среднем равны нулю. Мы также предполагаем, что среднеквадратичные ошибки величин Dlacos b и Dba остаются постоянными в пределах рассматриваемой окрестности на небе и равны, соответственно, slcos b и sb . В приведенных выше формулах неявно предполагается, что либо собственные движения звезд пренебрежимо малы либо координаты звезд в Альмагесте были измерены в первом году до н.э. (и поэтому собственные движения не имеют значения). Если же эпоха древних наблюдений звезд отличается от 0 и равна Tcat, то уравнения (1) и (2) следует уточнить, добавив в них члены, учитывающие собственные движения звезд:
Dl cos b = Dlsys cos b + Dlacos b + (1/60) ml Tcat                                                                              (3)
и
Db = Dbsys + Dba + (1/60) mbTcat,                                                                                                 (4)
где ml и mb -- это компоненты собственного движения (в секундах дуги в год) по эклиптической долготе и широте, соответственно (коэффициент 1/60 преобразует собственные движения из угловых секунд в год в единицы угловых минут в год). Далее мы разбиваем каталог Альмагест на два подмножества - к одному относятся звезды с большими по абсолютной величине собственными движениями, а ко второму - остальные, медленные звезды. Тогда уравнения (3) и (4) можно написать как для быстрой звезды, так и для ближайших к ней N медленных звезд, распложенных в области неба, в пределах которой систематические ошибки координат можно считать одинаковыми для всех звезд:
Dlr cos br = Dlsys cos br + Dlra cos br + (1/60) mrlTcat                                                                          (5)
и
Dbr = Dbsys + Dbra. + (1/60) mrbTcat.                                                                                              (6)
Здесь индекс r означает, что речь идет о медленных, опорных звездах (фактически используемых для оценки местных систематических ошибок Dlsyscos bи Dbsys , одинаковых для всех звезд в рассматриваемой окрестности). Далее мы усредняем уравнения (5) и (6) по N медленным звездам в окрестности быстрой звезды:
<Dlr cos br>= Dlsys<cos br> + (1/60) <mrl> Tcat                                                                                 (7)
и
<Dbr> = Dbsys + <Dbra> + (1/60) <mrb> Tcat,                                                                                     (8)
(средние значения случайных ошибок считаются равными нулю). Вычитая уравнения (7) и (8) из уравнений (3) и (4), соответственно, получаем:
 
 
Dl * cos b * - <Dlr cos br> = (1/60)(m *l - <mrl>) Tcat + Dl'*a                                                         (9)
и
Db * - <Dbr> = (1/60)(m *b - <mrb>) Tcat + Db '*a.                                                                 (10)
Индекс * означает, что соответствующие величины относятся к быстрой звезде.  Здесь неизвестными величинами являются случайные ошибки Dl'*a = (Dl *a cos b) и Db '*a, и эпоха наблюдения каталога Tcat. Общая идея предлагаемого метода проиллюстрирована на  рис. 7.

Рис. 7.Разность координат, приведенных в "Альмагесте" и вычисленных на эпоху первого года до н.э. (минус средняя такая разность для шести ближайших медленных звезд), в зависимости от соответствующей компоненты собственного движения для 50 самых быстрых звезд "Альмагеста"

Сплошной и штриховой линиями отмечены соответственно эпохи Гиппарха и Птолемея. Будучи умноженным на 60 наклон средней зависимости, определяемой большинством звезд, дает значение оптимальной эпохи наблюдения каталога (соответствующая линия не изображена на рисунке, поскольку она практически совпадает со сплошной линией)

На нем по горизонтальной оси отложены значения правых частей уравнений (9) и (10) (без множителя (1/60)), то есть, (m*b - <mrb>) и (m*l - <mrl>), а по вертикальной оси - левых частей соответствующих уравнений, то есть (Db* - <Dbr> и Dl* cos b * - <Dlr cos br>). Темными кружками показаны "выбросы", соответствующие измерениям, которые не использовались для датировки каталога, поскольку соответствующие координаты в Альмагесте отклоняются больше чем на три среднеквадратичных ошибки от общей зависимости, определяемой большинством быстрых звезд. Дата наблюдения каталога Tcat равна наклону (умноженному на 60) наилучшей линейной аппроксимации представленной светлыми кружками зависимости, а разброс точек относительно этой зависимости дает оценки среднеквадратичных случайных ошибок соответствующих координат. Отметим, что здесь, в отличие от [12], не получаем индивидуальных датировок каталога по отдельным звездам, а используем всю выборку быстрых звезд для коллективной датировки каталога и исключения сильно отклоняющихся измерений. Видно, что разумные индивидуальные датировки можно получить только по самым быстрым звездам (с наибольшими абсолютными значениями собственных движений). Однако менее быстрые звезды тем не менее очень важны, поскольку позволяют оценить среднеквадратичные ошибки координат и, следовательно, исключить сильно отклоняющиеся измерения. К тому же, как будет видно ниже, разумную датировку можно получить даже без нескольких самых быстрых звезд, если использовать более медленные звезды совместно, а не по отдельности.

Для определения эпохи каталога Альмагест Tcat, мы решаем системы уравнений (9) и (10) для всех быстрых звезд обычным методом наименьших квадратов. Таким образом, мы получаем две независимые оценки Tcat - по долготам (уравнения (9)) и широтам (уравнения (10)), которые далее обозначаются как Tlи Tb, а также их среднеквадратичные ошибки sTl иsTb, и среднеквадратичные случайные ошибки эклиптических координат sl'*a и sb*a. Совместное решение объединенной системы уравнений (9) и (10) с весами, обратно пропорциональными sl'*a и sb*a позволяет получить уточненную датировку Tlb.

Предлагаемый метод включает усреднение координатных разностей по нескольким опорным (медленным) звездам в окрестности каждой быстрой звезды. Число этих соседних опорных звезд (Nnei) для каждой быстрой звезды не должно быть велико, чтобы выполнялось предположение о равенстве систематических координатных погрешностей для быстрой и опорных звезд. При этом, однако, отдельные "выбросы" (очень большие погрешности) у очень небольшого числа опорных звезд (лостигающие 6 градусов) могут очень сильно исказить получаемые средние значения. Чтобы избежать этого, мы определяем средние значения как медианы, а не как средние арифметические. Выбор оптимального значения Nnei рассматривается в следующем разделе.
 

Результаты.


Используя стандартные формулы ([1], стр. 271), мы перевели современные высокоточные координаты звезд Альмагеста на эпоху "нулевого" года (то есть, первого года до нашей эры). Эта дата представляется достаточно удобным первым приближением к эпохе создания каталога, поскольку она расположена почти посредине между эпохой Гиппарха (128 г. до н.э.) и Птолемея (137 г. н.э.). В дальнейшем мы считаем Nfast с наибольшими по абсолютной величине собственными движениями быстрыми звездами, а оставшиеся - медленными или опорными звездами. Естественно, Nfast, как и Nnei , представляет собой свободный параметр.

Мы применили описанный в предыдущей главе метод ко всему каталогу Альмагест или точнее, к 1020 его звездам, исключив предварительно четыре повторных записи и четыре незвездных объекта. Далее мы получили датировки каталога, используя все возможные комбинации параметров Nnei = 2,...21 и Nfast = 11,...100 (т.е., используя от 11 до 100 самых быстрых звезд от 2 до 21 ближайших опорных звезд для каждой быстрой звезды). При этом опорные звезды отбирались по их близости к быстрой звезде согласно координатам Алмагеста, чтобы этот выбор не зависел от начальной эпохи (в нашем случае - первый год до н.э.). Для начала надо выбрать оптимальное число опорных звезд Nnei для каждой быстрой звезды. Это, очевидно, такое число опорных звезд, которое позволяет спрогнозировать систематическую ошибку координатной разности с наибольшей точностью. Эффективность такого прогноза измеряется среднеквадратичной ошибкой соответствующей координаты, определяемой путем решения систем уравнений (9) и (10) методом наименьших квадратов: sl' = s (Dl * cos b * - <Dlr cos br>) и sb= s (Db * - <Dbr>).


Рис. 8.Местные среднеквадратичные случайные ошибки sl' и sb эклиптических координат Nfast = 100 самых быстрых звезд Альмагеста в зависимости от числа используемых соседних опорных звезд Nnei. Видно, что ошибки обеих координат перестают уменьшаться при Nnei>6.


Рис. 9.Среднеквадратичная ошибка sTlb, совместной датировки по широтам и долготам в зависимости от числа Nfast используемых самых быстрых звезд Альмагеста. Для каждой быстрой звезды использовалось по Nnei =6 медленных опорных звезд. Видно, что ошибка датировки остаетмся практически постоянной после того, как число быстрых звезд превысит 40.

На рисунке 8 приведены зависимости соответствующих среднеквадратичных ошибок sl ' и sb от числа соседних опорных звезд Nnei для Nfast = 100. Видно, что как sl' так и sb быстро уменьшаются с Nnei вплоть до Nnei = 6, а дальнейшее увеличение числа опорных звезд уже не сказывается на точности определения систематической ошибки. Более того, добавляя новые, более далекие опорные звезды, мы рискуем выйти за пределы области одинаковых систематических ошибок. Поэтому в дальнейшем мы используем для каждой быстрой звезды по 6 медленных опорных звезд наиболее близких к быстрой звезде, т.е., Nnei = 6.

На рис. 9 показана зависимость среднеквадратичной ошибки sTlbуточненной датировки (совместно по широтам и долготам) sTlbот числа быстрых звезд Nfast. Видно, что остается практически неизменной после того, как число быстрых звезд превысит 40 и поэтому в дальнейших расчетах мы принимаем Nfast = 40 и Nnei = 6. В результате мы получаем следующие оценки эпохи наблюдения Альмагеста:

Tl= -110 +/- 230,

Tb = -80 +/- 150,

Tlb= -90 +/- 120.

Среднеквадратичные ошибки эклиптических координат равны:

sl' = 18'

sb = 13'.

Датировки Tl и Tb , , полученные по долготам и широтам, хорошо согласуются друг с другом и свидетельствуют в пользу гипотезы, согласно которой координаты звезд, приведенные в Альмагесте, наблюдались Гиппархом, а не Птолемеем. Совместная датировка Tlb позволяет отвергнуть авторство Птолемея на уровне значимости 1.85s или 94% и это результат, как видно из дальнейшего, практически не зависит от числа используемых быстрых звезд (см. Рис. 10 и 11).


Рис. 10.Датировка "Альмагеста" по долготам (кружки) и широтам (крестики) - решения уравнений (9) и (10) в зависимости от числа используемых самых быстрых звезд каталога Nfast. Для каждой быстрой звезды использовалось по Nnei = 6 медленных опорных звезд.

Сплошной и штриховой линиями отмечены, соответственно, эпохи Гиппарха и Птолемея. Видно, что эпохи, получаемые по раздельным решениям для широт и долгот, находятся в хорошем согласии друг с другом и говорят о том, что автором координат в каталоге, скорее всего, был Гиппарх, а не Птолемей.


Рис. 11. Зависимость совместной датировки "Альмагеста" от числа используемых самых быстрых звезд каталога Nfast
Для каждой быстрой звезды использовалось по Nnei = 6 медленных опорных звезд.

Сплошной и штриховой линиями отмечены, соответственно, эпохи Гиппарха и Птолемея. Видно, что получаемые эпохи позволяют с уверенностью говорить об авторстве Гиппарха.

Зависимость среднеквадратичной случайной ошибки эклиптической широты 40 самых быстрых звезд Альмагеста от предполагаемой эпохи наблюдения каталога приведена на рис. 12.


Рис. 12. Среднеквадратичная разность (bAlm-bT)*-<(bAlm-bT)r> погрешности эклиптических широт 40 самых быстрых звезд в каталоге "Альмагеста" и среднего значения местной систематической погрешности для шести соседних медленных опорных звезд в зависимости от предполагаемой эпохи наблюдения Т. Наилучшая датировка соответствует минимуму кривой

Очевидно, что для получаемой таким образом датировки каталога наиболее существенными являются звезды с самыми большими собственными движениями, и поэтому может возникнуть вопрос, не определяется ли полностью эта датировка одной или двумя самыми быстрыми звездами. В этом случае наши выводы могут оказаться неверными из-за большой случайной ошибки ("выброса") в координатах одной из самых быстрых звезд. Чтобы прояснить ситуацию, мы повторили вычисления, исключив из исходной выборки сначала самую быструю звезду (o2 Eri), потом две, три и т.д. вплоть до 10 самых быстрых звезд. Результаты приведены в Таблице 2, в которой Tlb совместная датировка по широте и долготе (годы относительно начала новой эры). В первой строке приводится число исключенных звезд Nexcl и название последней такой звезды (например, s Dra в пятом столбце означает, что соответствующие значения Tlb и sTlbполучены без использования пяти самых быстрых звезд: т.е., o2Eri, a Cen, a Boo, t Cet, и s Dra). Заметим, что a Cen не принимала участия ни в одном решении из-за очень больших ошибок ее координат (она отбрасывалась по критерию 3s ). Видно, что вывод об авторстве Гиппарха остается в силе даже после исключения 10 самых быстрых звезд и следовательно достаточно устойчив к случайным ошибкам.

Таблица 2.Зависимость совместной датировки каталога Альмагест по широтам и долготам от числа исключенных звезд с самыми большими по абсолютной величине собственными движениями Nexcl.

Nexcl
0
1

(o2 Eri)

3

(a Boo)

4

(t Cet)

5

(s Dra)

6

(61Vir)

7

(a CMa)

8

(g Ser)

9

(i Per)

10

(a CMi)

Tlb
-90
-40
-130
-140
-130
-120
-200
-160
-170
-250
s Tlb
120
150
160
170
180
190
190
210
220
230

Выводы


Наши результаты означают, что, по крайней мере, подавляющее большинство координат каталога "Альмагеста" было определено при жизни Гиппарха, но не Птолемея. Полученное решение позволяет отклонить авторство Птолемея на уровне значимости 94%. Это заключение не зависит от координат нескольких быстрых звезд: все оценки эпохи каталога остаются фактически неизменными после их исключения.

Можно ли теперь полагать, что эпохальная загадка каталога Птолемея, наконец, решена? Обратите внимание на заключение Свердлова [11]: "Какого бы мнения вы ни придерживались, вы можете "доказать" его правильность, но кто-то еще может прийти и "опровергнуть" это мнение". Однако мы не думаем, что это относится и к нашему результату. Он мог быть получен несколькими десятилетиями ранее, если был бы доступен соответствующий компьютер. Даже около 1982 г., когда Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская [12] получили свои результаты, используя компьютер размером в комнату, было необходимо много ручной работы, что не позволило привлечь большее количество данных. Теперь работа может быть легко выполнена с персональным компьютером, и каждый может проверить наш результат. Мораторий, предложенный Н.М. Свердловым [11] на работы по датированию каталога "Альмагеста", не должен и не будет соблюдаться. Действительно, уже после опубликования нашей работы [13] близкие результаты были получены совсем другим способом М.Л. Городецким (его работа существует только в электронном виде по адресу: hbar.phys.msu.su/gorm/fomenko/starwars.htm), который по собственным движениям и широтам 14 самых быстрых звезд "Альмагеста" нашел в одном варианте эпоху - 110 г. с погрешностью в +/- 280 лет, а в другом - 130г.+/- 180 лет.

Таким образом, мы стоим перед неопровержимым результатом, согласно которому эпоха каталога, включенного в "Альмагест" Птолемея, близка к эпохе, обычно приписываемой Гиппарху. Действительно, склонения 18 звезд, приведенные в "Альмагесте", соответствуют эпохе -130 г. для наблюдений Гиппарха с погрешностью лишь в 10 лет [19].

Что же нам делать с утверждением Птолемея, что он наблюдал так много звезд, как он мог видеть?.. Во всяком случае, Птолемей определил сам склонения 18 звезд, и по крайней мере некоторые яркие зодиакальные звезды, должно быть, также наблюдались Птолемеем. Рассматривая значение прецессии в параграфе VII.2 "Альмагеста", он пишет:

"Таким образом по расстояниям от Луны мы и определяем положение каждой в отдельности яркой звезды" [2, с. 215]. Однако остается открытым вопрос, использовал ли Птолемей только свои собственные наблюдения для координат этих ярких звезд в каталоге или заимствовал и их тоже у Гиппарха, как и для остальных звезд.

Можно предположить, что Птолемей определил для себя координаты всех звезд, сравнил их с координатами Гиппарха (напомним, что он подтвердил гиппархово заниженное значение прецессии, но использовал ошибочное на 1 градус значение долготы Солнца, почему получил и погрешность в долготах, компенсирующую ошибочное значение прецессии) и, убедившись в их близости, поместил в каталоге "Альмагеста" именно координаты Гиппарха, которого считал более искусным наблюдателем. Как отмечал Лаплас [9, с. 276], Птолемей относился к Гиппарху с почтением и для него было бы естественно принять координаты, которые он считал более точными, чем свои собственные. Хотя и остается вопрос, почему он не сказал об этом, наше предположение совместимо со всем текстом "Альмагеста", в котором неоднократно упоминается сравнение определенных автором координат с гиппарховыми [2, с. 215-217].

Возможно, что задача выделения звезд, координаты которых определил сам Птолемей, не безнадежна. Имеются некоторые свидетельства неоднородности каталога. Мнение, что около четвертой части координат звезд в каталоге "Альмагеста" определено Птолемеем, было господствующим в первой половине XX в. (см. [1]), а не так давно Шевченко [20] нашел, что избыток значений долгот на 40" не обнаруживается в южных созвездиях. Грасхофф [1] заключил, что птолемеевские положения не могли составлять более чем половину каталога, а наши результаты указывают, что их значительно меньше или нет совсем. Имеются также другие признаки того, что данные о многих звездах не были оригинальными птолемеевскими. Отсутствие в каталоге "Альмагеста" звездных величин именно в созвездии Малого Коня, которого нет в списке Гиппарха, представляется теперь действительно знаменательным.

Во всяком случае, наш результат неопровержимо означает, что координаты по крайней мере подавляющего большинства из 40 звезд с собственными движениями, превышающими 0,52", были измерены при жизни Гиппарха и, следовательно, наверняка им самим. Едва ли ве роятно, что Гиппарх наблюдал только быстрые звезды, а Птолемей -более медленные... Заключения Р. Ньютона [7] и Роулинса [21] об авторстве Гиппарха (которые разделял Ю.А. Завенягин) основывались на косвенных данных и подвергались обоснованным сомнениям, но собственные движения звезд окончательно решают проблему.

Однако мы не можем присоединиться к обвинениям в адрес Птолемея и не считаем его плагиатором. "Альмагест" - это компиляция, справочник, учебник, и даже теперь авторы этого вида публикаций часто не ссылаются на используемые ими источники. Было бы неправильно судить Птолемея по существующим ныне критериям научной этики. Стоит отметить, что стандартов авторского права не существовало вплоть до середины XIX в.

    ЛИТЕРАТУРА:


1. Grasshoff G. The history of Ptolemy's star catalog. N.Y., 1990.
2. Птолемей К. Альмагест. М.: Наука, 1998.
3. Schjellerup H.C.F.C. Description des etoiles fixes compose au milieu du dixieme siecle de notre ere par 1'astronome persan Abd-Al-Rahman Al-Sufi. St. Petersburg, 1874.
4. Tycho Brake D. Opera omnia: 15 vol. // Ed. J.L. Dreyer. Copenhagen, 1913-1929. Vol. 3. P.335f.
5. Lalande J.J. // Mem. Acad. Roy. Sci. 1757. P. 421.
6. Delambre J.B.J. Histoire de 1'Astronomie Moyen Age. P., 1819.
7. Ньютон Р. Преступление Клавдия Птолемея. М.: Физматлит, 1985.
8. Manitius С. Hipparchi in Arati et Eudoxi... Leipzig, 1894.
9. Лаплас П.-С. Изложение системы мира. Л.: Наука, 1982.
10. Evans J. // J. Hist. Astron. 1987. Vol. XVIII. P. 155-172, 233-278.
11. Swerdlow N.M. //Ibid.-1992. Vol. 23. P. 173-183.
12. Ефремов Ю.Н., Павловская Е.Д. // Ист.-астрон. исслед. 1989. Вып. XXI. С.175-192.
13. Дамбис А.К., Ефремов Ю.Н., Дурлевич О.В. // Древняя астрономия: Небо и человек. М., 1998. С. 78-83.
14. DambisA.K., Efremov yu.n. //J. Hist. Astron. 2000. Vol. XXXI. P. 115-134.
15. Hipparchos and Tycho catalogs. Vol. 1-20. ESA. 1997.
16. Hoffleit D., Jaschek C. The bright star catalog. New Haven, 1991.
17. Peters C.H., Knobel E.B. Ptolemy's catalogue of stars: A revision of the Almagest. Wash. (D.C.), 1915.
18. Ефремов Ю.Н., Шевченко М.Ю. // Истор.-астрон. исслед. 1994. Вып. XXIV. С. 164-180.
19. Maeyama Y. // Centaurus. 1984. Vol. 27. P. 280-310.
20. Shevchenko M.Yu. // J. Hist. Astron. 1990. Vol.XXI. P. 187.
21. Rowlins D. // Publ. Astron. Soc. Pacif. 1982. Vol. 94. P. 359-373.