ДАТИРОВКА ЭПОХИ НАБЛЮДЕНИЯ ЗВЕЗД КАТАЛОГА "АЛЬМАГЕСТ" ПО СОБСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЯМ

А.К.Дамбис, Ю.Н.Ефремов, О.В.Дурлевич
Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга МГУ Москва
(Древняя астрономия: небо и человек. Труды конференции, М.,1998)

ВВЕДЕНИЕ

Авторство звездного каталога, включенного в "Альмагест" Птолемея, уже несколько веков является предметом ожесточенных споров: начиная с Тихо Браге, впервые обнаружившего наличие систематической ошибки эклиптических долгот в "Альмагесте", борются две точки зрения, согласно одной из них каталог действительно является результатом наблюдений, выполненных самим Птолемеем около 137 г. н.э., а согласно другой - истинным автором каталога является Гиппарх (около 128 г. до н.э.), а Птолемей всего лишь перевел долготы звезд (и притом с ошибкой из-за неверного значения прецессии) на эпоху +137 г. Новый импульс спору придала работа Р.Ньютона (1977), а также ряд последовавших за ней публикаций. Следует, однако, отметить, что аргументы, приводившиеся до сих пор каждой из сторон в защиту своей точки зрения (упоминавшаяся выше систематическая ошибка долгот, особенности распределения долгот по долям градуса и т.д.) были, в силу их косвенного характера, без особого труда переинтерпретированы противоположной стороной. Поэтому надежно датировка каталога (и, следовательно, его авторство), на наш взгляд, может быть установлена лишь путем анализа положений звезд с большими собственными движениями (то есть с большими скоростями перемещения на небесной сфере) относительно более "медленных" звезд. Во-первых, эти положения зависят от времени (хотя и весьма слабо) и во-вторых, собственные движения звезд (даже самых "быстрых") были неизвестны до начала 18 века и, следовательно, и в принципе не могли быть учтены возможным "плагиатором". Такой анализ был впервые выполнен Голубцовой и Завенягиным (1983), которые использовали взаимные расстояния звезд в парах, а затем -Ефремовым и Павловской (1987),   использовавших   для датировки изменяющиеся со временем взаимные расстояния объектов в группах, содержащих звезды с большими собственными движениями. Однако полученные в этих работах результаты не позволили уверенно определить эпоху создания каталога - они практически в одинаковой степени    согласовывались с предположением как об авторстве Птолемея, так и Гиппарха: по ярким звездам - Арктуру и Сириусу - получались более поздние эпохи (3-4 век н.э.), по слабым звездам (напр., Тау Кита и Гамма Змеи) - существенно более ранние эпохи (ок. 3-5 века до н.э.), а по самой быстрой звезде - Омикрон 2 Эридана - от 150 г . до н.э. до 150 г. н.э. (в зависимости от выбора других звезд - членов группы). К тому же получаемые результаты довольно сильно зависели от того, какие именно звезды включались в одну группу с "быстрой" звездой (напр., случай o2 Эридана).

МЕТОД

Предлагаемый нами метод датировки состоит в следующем. Рассмотрим эклиптические координаты (долготы l и широты b) звезд, приводимых в каталоге "Альмагест" [l(Alm) и b(Alm)], и координаты этих же звезд из современного каталога (мы использовали для этой цели каталог BS), пересчитанных на начало нашей эры [l(0) и b(0)]. Вычислим разности каталожных и рассчитанных значений координат: Dl = l(Alm)-l(0) и Db = b(Alm)-b(0). Если бы координаты в каталоге "Альмагест" были абсолютно точными, а эпоха наблюдений в точности соответствовала началу нашей эры, то, очевидно, все эти разности были бы (независимо от собственного движения) равны нулю:

Dl cos b = 0
и
Db = 0.

Как известно (Грассхоф 1990), координаты звезд в каталоге "Альмагест" имеют систематические ошибки, зависящие от созвездия и вообще от положения на небесной сфере, а кроме того, обременены и случайными ошибками. Учитывая, что систематические ошибки остаются практически постоянными в пределах небольших областей на небе, получаем, что для звезд в небольшой окрестности рассматриваемой звезды:
Dl cos b = (dl cos b)sys+ dla
(1)

и
Db = dbsys + dba,
(2)

где (dl cos b)sys и dbsys - локальные систематические ошибки координат (долгот и широт) в каталоге "Альмагест" (одинаковые для всех звезд в рассматриваемой области), a dla и dba - случайные ошибки этих же координат (вообще говоря, разные для разных звезд области). В дальнейшем мы считаем (по определению), что средние значения случайных ошибок равны нулю, а их дисперсии равны sl и sb, соответственно (мы предполагаем,  что дисперсии одинаковы для всех звезд рассматриваемой области). Теперь разделим звезды каталога "Альмагест" на две группы - "быстрые" (с большими по абсолютной величине собственными движениями - относящиеся к ним величины в дальнейшем отмечаются значком '*' ) и "медленные" или опорные звезды (с малыми собственными движениями) - их координаты и ошибки отмечаются значком '0'. Мы можем записать уравнения (1) и (2) как для ''быстрой" звезды:
 
 
Dl* cos b* = (dl cos b)sys + dla*
(3)

                 и
Db* = dbsys + dba*,
(4)

так и для N ближайших к ней опорных звезд (в пределах области с такими же систематическими ошибками координат):
Dl0 cos b0 = (dl cos b)sys + dla0
(5)
Db0 = dbsys + dba0,
(6)

Далее, усреднив уравнения (5) и (6) по N опорным звездам, получаем:
<Dl0 cos b0> = (dl cos b)sys + <dla0
(7)

и
<Db0> = dbsys + <dba0>,
(8)

где угловые скобки означают усреднение по N ближайшим к быстрой звезде опорным звездам. Вычтем теперь уравнение (7) из уравнения (3), а уравнение (8) из уравнения (4) и получим:
Dl* cos b* - <Dl0 cos b0> = dl'a*
(9)

          и
Db* - <Db0> = db'a*,
(10)

где dl'a* = dla* - <dla0> и db'a* = dba* - <dba0> - случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями, определяемыми соотношениями:
 
sl'2 = sl2(1+ 1/N)
(11)

и
sb'2 = sb2(1 + 1/N),
(12)

то есть уже при небольших N практически совпадают с sl и sb (отличие не превосходит 10% при N>4).

Теперь учтем возможное отличие эпохи создания каталога от начала нашей эры. Пусть эпоха каталога равна T(cat), тогда уравнения (9) и (10) следует дополнить членами, учитывающими изменение координат из-за собственных движений за время T(cat) - 0 = T(cat):
Dl* cos b* - < Dl0 cos b0> =
(PMl* - <PMl0>)T(cat)+ dl'a*
(13)

и
Db*-<Db0> =
(PMb* - <PMb0>) T(cat) + db'a*,
(14)

где PMl и PMb - компоненты собственного движения звезд по эклиптической долготе и широте, соответственно. В этих уравнениях неизвестными величинами являются случайные ошибки dl'a*, db'a* и эпоха создания каталога T(cat). Решая системы уравнений (13) и (14) для быстрых звезд методом наименьших квадратов (считая дисперсии величин dla и dba одинаковыми для всех рассматриваемых звезд), получаем две независимые оценки T(cat) по уравнениям для долгот и широт [(Тl и Тb], их среднеквадратичные ошибки sT(cat), а также среднеквадратичные случайные ошибки эклиптических координат sl' и sb' . Далее можно получить уточненную оценку T(cat) путем совместного решения систем (13) и (14) [Tlb].

Наконец, можно уточнить полученные описанным выше образом оценки даты создания каталога путем приписывания каждому из уравнений систем (13) и (14) индивидуальных весов, зависящих от предполагаемой дисперсии случайных ошибок координат для каждой из "быстрых" звезд. При этом мы исходим из того, что дисперсии случайных  величин  dl'a и db'a пропорциональны оценкам дисперсий величин Dl0 cos b0 и Db0, получаемым по N ближайшим к быстрой звезде опорным звездам (то есть, приписываем наибольший вес "быстрым" звездам с наиболее "кучным" распределением ошибок координат близких к ним опорных звезд). Таким образом получаем три "взвешенные" оценки эпохи создания каталога - Tlw, Tbw, Tlbw.

ИСХОДНАЯ ВЫБОРКА ЗВЕЗД

В качестве источника данных о координатах звезд в каталоге "Альмагест" мы использовали версию каталога, опубликованную в книге Грассхофа (1990), а в качестве источника современных координат и собственных движений BS-каталог ярких звезд (Хоффлайт, Яшек 1990). Предварительные оценки показали, что случайные ошибки координат в каталоге "Альмагест" зависят от блеска звезды, существенно возрастая для слабых звезд (с видимой звездной величиной V > 5). Учитывая это обстоятельство, для дальнейшего анализа мы отобрали все звезды каталога "Альмагест", за исключением наиболее слабых (с V>5). Таким образом из общего числа 1026 звезд каталога осталось 832 звезды. Далее мы разделили эти звезды на две подгруппы - "быстрых" и "медленных" (опорных) звезд. В первую группу мы включили все звезды с абсолютным значением полного собственного движения, большим 0.1 угловой секунды в год (276 звезд), а во вторую - все остальные (556) звезд. Далее, используя стандартные формулы [см., напр., Грассхоф (1990), С. 270 - 271], мы для всех звезд вычислили их эклиптические координаты и скорости их изменения (компоненты собственного движения) для эпохи начала нашей эры, после чего, следуя описанной выше методике, оценили эпоху создания каталога. Выбор именно начала нашей эры в качестве начального приближения нам представляется наиболее удобным, поскольку эта эпоха расположена почти точно посередине между эпохами Гиппарха (-128 г.) и Птолемея (+137 г.).

РЕЗУЛЬТАТЫ

В приводимой ниже Таблице 1 приводятся результаты определения даты создания каталога, полученные путем раздельного решения систем уравнений (13) [Tl] и (14) [Tb] и совместного решения объединенной системы [Tlb]. В Таблице 2 приводятся результаты решения "взвешенных" систем уравнений (13) [Tlw] и (14) [Tbw] (с учетом индивидуальных дисперсий случайных ошибок), а также результаты совместного решения [Tlbw] объединенной системы.

Таблица 1. Датировка каталога "Альмагест" без учета индивидуальных дисперсий случайных ошибок координат.
 
Координата
T(cat)
Ошибка T(cat), лет
Ср.кв.ошибка координаты (угл.мин.)
l
-121
201
18.2'
b
-127
142
13.6'
lb
-125
116
---

Таблица 2. Датировка каталога "Альмагест" с учетом индивидуальных дисперсий случайных ошибок координат.
 
 
Координата
T(cat)
Ошибка T(cat), лет
l
-381
199
b
-195
113
lb
-199
98

Поскольку средняя эпоха наблюдений Гиппарха около -127 г. до н.э., а Птолемея - ок. +137 г. н.э., то из полученных результатов можно сделать уверенный вывод о том, что автором звездного каталога "Альмагест" является не Птолемей, а Гиппарх. В пользу этого свидетельствуют все шесть полученных нами датировок каталога по собственным движениям, а наиболее точная оценка даты создания каталога - по совместному решению уравнений для разностей долгот и широт с учетом индивидуальных дисперсий случайных ошибок (третья строка Таблицы 2) -- позволяет отвергнуть авторство Птолемея с вероятностью 99.93%.

Очевидно, что именно звезды с самыми большими собственными движениями в наибольшей степени ограничивают интервал возможных эпох создания каталога. В связи с этим может возникнуть вопрос о том, в какой степени полученные в данной работе результаты зависят от небольшого числа самых быстрых звезд. Для этого мы повторили вычисления, исключив из исходной выборки сначала одну, потом две и так далее до 10 самых быстрых звезд. Оказалось, что даже исключение 10 самых быстрых звезд оставляет в силе сделанный выше вывод об авторстве Гиппарха. Это видно из приводимых ниже Таблицы 3 и Таблицы 4. В столбцах 1-10 этих таблиц приводятся значения T(cat) и их ошибки sT(cat), полученные путем решения совместных систем уравнений (13) и (14) (Таблица 1) и уравнений (13) и (14), с весами, обратно пропорциональными sl' и sb' , (Таблица 2), после исключения 1-10 звезд с самыми большими абсолютными значениями полного собственного движения.

Таблица 3. Датировка каталога "Альмагест" с исключением нескольких самых быстрых звезд (без учета индивидуальных дисперсий случайных ошибок).
 
 
N (число
исключенных
звезд)
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
Tlb
-60
-60
-166
-131
-134
-101
-164
-144
-173
-159
sT
133
133
143
150
154
159
165
170
176
180

Таблица 4. Датировка каталога "Альмагест" с исключением нескольких самых быстрых звезд (с учетом индивидуальных дисперсий случайных ошибок).
 
 
 
N (число
исключенных
звезд)
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
Tlbw
-153
-108
-257
-235
-239
-110
-172
-159
-153
-160
sT
121
121
131
136
139
163
170
177
181
187

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Путем сравнения разностей эклиптических координат для звезд каталога "Альмагест" с большими и малыми собственными движениями получена оценка эпохи создания каталога: -199 ± 98 г. Этот результат позволяет однозначно решить вопрос об авторстве каталога в пользу Гиппарха: вероятность, что наблюдения звезд, лежащие в основе каталога, были выполнены Птолемеем не превышает 0.07%. Получены также оценки среднеквадратичных случайных ошибок эклиптических координат звезд в каталоге "Альмагест": 18.2 и 13.6 угловых минут для долготы и широты, соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубцова Е.С., Завенягин Ю.А. // Вопр. истории. 1983. No. 12. С. 68.
2. Грассхоф (Grassgoff G.) The History of Ptolemy's Star Catalogue. N.Y. 1990.
3. Ефремов Ю.Н., Павловская Е.Д.//ДАН СССР. 1987. Т. 294. No.2. C.310-313.
4. Ньютон (Newton R) The Crime of Claudius Ptolemy. Baltimore, 1977. (Рус. перевод:
Ньютон Р. Преступление Клавдия Птолемея. М.: Наука, 1985).
5. Хоффлайт, Яшек (Hoffleit D., Jaschek С.) The Bright Star Catalogue. New Haven: Yale Univ. Obs., 1991.
 
 
 

Вернуться на страницу "Фоменкология"